Class 6 Math-ষষ্ঠ শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী ১.৩-গসাগু ও লসাগু
১. মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে গসাগু নির্ণয় করঃ
(ক) ১৪৪,২৪০,৬১২
সমাধানঃ
১৪৪,২৪৪ ও ৬১২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই,
| ২)১৪৪ ২)৭২ ২)৩৬ ২)১৮ ৩)৯ ৩ | ২)২৪০ ২)১২০ ২)৬০ ২)৩০ ৩)১৫ ৫ | ২)৬১২ ২)৩০৬ ৩)১৫৩ ৩)৫১ ১৭ |
এখানে,
১৪৪=২x২x২x২x৩x৩
২৪০=২x২x২x২x৩x৫
৬১২=২x২x৩x৩x১৭
১৪৪,২৪০,৬১২ এর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলোঃ ২,২,৩
সুতরাং ১৪৪,২৪০ ও ৬১২ এর গসাগু=২x২x৩=১২
(খ) ৫২৫,৪৯৫,৫৭০
সমাধানঃ
৫২৫,৪৯৫ ও ৬১২ কে সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
| ৩)৫২৫ ৫)১৭৫ ৫)৩৫ ৭ | ৩)৪৯৫ ৩)১৬৫ ৫)৫৫ ১১ | ২)৫৭০ ২)২৮৫ ৩)৯৫ ১৯ |
এখানে,
৫২৫=৩x৫x৫x৭
৪৯৫=৩xx৩x৫x১১
৫৭০=২x৩x৫x১৯
৫২৫,৪৯৫ ও ৫৭০ এর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলো ৩,৫
সুতরাং ৫২৫,৪৯৫ ও ৫৭০ এর গসাগু=৩x৫=১৫।
(গ) ২৬৬৬, ৯৬৯৯
সমাধানঃ
২৬৬৬ ও ৯৬৯৯ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
| ২)২৬৬৬ ৩১)১৩৩৩ ৪৩ | ৩)৯৬৯৯ ৫৩)৩২৩৩ ৬১ |
এখানে,
২৬৬৬=২x৩১x৪৩
৯৬৯৯=৩x৫৩x৬১
২৬৬৬ ও ৯৬৯৯ এর কোন সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
সুতরাং, ২৬৬৬ ও ৯৬৯৯ এর গসাগু=১।
২. ভাগ প্রক্রিয়ায় গসাগু নির্ণয় করঃ
(ক) ১০৫, ১৬৫
সমাধানঃ
১০৫)১৬৫(১
১০৫
৬০)১০৫(১
৬০
৪৫)৬০(১
৪৫
১৫)৪৫(৩
৪৫
০
এখানে শেষ ভাজক ১৫
∴গসাগু=১৫।
(খ) ৩৮৫,২৮৬,৮১৮
সমাধানঃ
২৮৬)৪১৮(১
২৮৬
১৩২)২৮৬(২
২৬৪
২২)১৩২(৬
১৩২
০
২২)৩৮৫(১৭
৩৭৪
১১)২২(২
২২
০
এখানে শেষ ভাজক ১১
∴গসাগু=১১।
৩. মৌলিক গুণনীওকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয় করঃ
(ক) ১৫, ২৫, ৩০
সমাধানঃ
১৫,২৫, ৩০ কে তাদের মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই,
| ৩)১৫ ৫ | ৫)২৫ ৫ | ২)৩০ ৩)১৫ ৫ |
এখানে,
১৫=৩x৫
২৫=৫x৫
৩০=২x৩x৫
∴১৫, ২৫ ও ৩০ এর লসাগু=২x৩x৫x৫=১৫০।
(খ) ২২, ৮৮, ১৩২, ১৯৮
সমাধানঃ
২২, ৮৮, ১৩২ ও ১৯৮ কে তাদের মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
| ২)২২ ১১ | ২)৮৮ ২)৪৪ ২)২২ ১১ | ২)১৩২ ২)৬৬ ৩)৩৩ ১১ | ২)১৯৮ ৩)৯৯ ৩)৩৩ ১১ |
এখানে,
২২=২x১১
৮৮=২x২x২x১১
১৩২=২x২x৩x১১
১৯৮=২x৩x৩x১১
২২, ৮৮, ১৩২ ও ১৯৮ এর লসাগু=২x২x২x৩x৩x১১=৭৯২।
(গ) ২৪, ৩৬, ৫৪, ৭২, ৯৬
সমাধানঃ
২৪, ৩৬, ৫৪, ৭২ ও ৯৬ কে তাদের মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষন করে পাই,
| ২)২৪ ২)১২ ২)৬ ৩ | ২)৩৬ ২)১৮ ৩)৯ ৩ | ২)৫৪ ৩)২৭ ৩)৯ ৩ | ২)৭২ ২)৩৬ ২)১৮ ৩)৯ ৩ | ২)৯৬ ২)৪৮ ২)২৪ ২)১২ ২)৬ ৩ |
এখানে,
২৪=২x২x২x৩
৩৬=২x২x৩x৩
৫৪=২x৩x৩x৩
৫৪=২x৩x৩x৩
৭২=২x২x২x৩x৩
৯৬=২x২x২x২x২x৩
∴২৪, ৩৬, ৫৪, ৭২ ও ৯৬ এর লসাগু=২x২x২x২x২x৩x৩x৩=৮৬৪।
৪. ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে লসাগু নির্ণয় করঃ
(ক) ৯৬, ১২০
সনাধানঃ
২)৯৬, ১২০
২)৪৮, ৬০
২)২৪, ৩০
৩)১২, ১৫
৪, ৫
∴নির্ণেয় লসাগু=২x২x২x৩x৪x৫=৪৮০।
(খ) ৩৫, ৪৯, ৯১
সমাধানঃ
৭)৩৫, ৪৯, ৯১
৫, ৭, ১৩
∴নির্ণেয় লসাগু=৭x৫x৭x১৩=৩১৮৫।
(গ) ৩৩, ৫৫, ৬০, ৮০, ৯০
সমাধানঃ
২) ৩৩,৫৫,৬০,৮০,৯০
২)৩৩,৫৫,৩০,৪০,৪৫
৩)৩৩,৫৫,১৫,২০,৪৫
৫)১১,৫৫,৫,২০,১৫
১১)১১,১১,১,৪,৩
১,১,১,৪,৩
∴নির্ণেয় লসাগু=২x২x৩x৫x১১x৪x৩=৭৯২০।
৫. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?
সমাধানঃ
যেহেতু বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেক বার ৪ ভাগশেষ থাকে। কাজেই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (১০০-৪)=৯৬ এবং (১৮৪-৪)=১৮০ এর গসাগু।
এখন,
৯৬)১৮০(১
৯৬
৮৪)৯৬(১
৮৪
১২)৮৪(৭
৮৪
০
∴৯৬ ও ১৮০২ এর গসাগু ১২
∴নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ১২।
৬. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে?
সমাধানঃ
যেহেতু ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে নির্ণেয় সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকে। কাজেই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (২৭-৩)=২৪, (৪০-৪)=৩৬ এবং (৬৫-৫)=৬০ এর গসাগু।
এখানে, ২৪=২x২x২x৩
৩৬=২x২x৩x৩
৬০=২x২x৩x৫
∴২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু=২x২x৩=১২
∴নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা=১২।
৭. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?
সমাধানঃ
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর লসাগু।
সুতরাং ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু এর সাথে ৫ যোগ করলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
২)৮,১২,১৮,২৪
২)৪,৬,৯,১২
২)২,৩,৯,৬
৩)১,৩,৯,৩
১,১,৩,১
∴লাসগু=২x২x২x৩x৩=৭২
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি=৭২+৫=৭৭।
৮. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২০, ২৫, ৩০, ৩৬ ও ৪৮ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ ও ৪৩ ভাগশেষ থাকবে?
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভাজক ও ভাগশেষ এর মধ্যকার পার্থক্য
২০-১৫=৫
২৫-২০=৫
৩০-২৫=৫
৩৬-৩১=৫
৪৮-৪৩=৫, যা প্রতিক্ষেত্রেই একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা।
অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ২০, ২৫, ৩০, ৩৬, ৪৮ এর লসাগু থেকে ৫ কম।
২)২০,২৫,৩০,৩৬,৪৮
২)১০,২৫,১৫,১৮,২৪
৩)৫,২৫,১৫,৯,১২
৫)৫,২৫,৫,৩,৪
১,৫,১,৩,৪
∴২০,২৫,৩০,৩৬,৪৮ এর লসাগু=২x২x৩x৫x৫x৩x৪=৩৬০০।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি=৩৬০০-৫=৩৫৯৫।
৯. একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬৭২ সেমি ও ৯৬০ সেমি। পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে? প্রত্যেক পাতের টুকরার সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে লোহার পাত ও তামার পাতের প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের নির্ণেয় গসাগু।
৬৭২)৯৬০(১
৬৭২
২৮৮)৬৭২(২
৫৭৬
৯৬)২৮৮(৩
২৮৮
০
∴৬৭২ ও ৯৬০ এর গসাগু=৯৬
∴নির্ণেয় কেটে নেওয়া পাতের দৈর্ঘ্য ৯৬ সেমি।
∴লোহার পাতের টুকরার সংখ্যা=(৬৭২÷৯৬) টি = ৭ টি।
এবং তামার পাতের টুকরার সংখ্যা= (৯৬০÷৯৬) টি = ১০ টি।
১০. চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৫, ২০ ও ৩৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?
সমাধানঃ
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর লসাগু দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য সংখ্যা তাদের প্রত্যেকটি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
২)১২,১৫,২০,৩৫
২)৬,১৫,১০,৩৫
৩)৩,১৫,৫,৩৫
৫)১,৫,৫,৩৫
১,১,১,৭
∴১২, ১৫, ২০, ৩৫ এর লসাগু=২x২x৩x৫x৭=৪২০।
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=১০০০
৪২০)১০০০(২
৮৪০
১৬০
দেখা যাচ্ছে, ১০০০ সংখ্যাটি ৪২০ দ্বারা বিভাজ্য নয়। ৪২০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১৬০ থাকে। ভাজ্য ১০০০ থেকে ১৬০ কম হলে সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। কিন্তু তখন সংখ্যাটি (১০০০-১৬০) বা ৮৪০ অর্থাৎ তিন অঙ্কের হয়। আবার ভাজ্য যদি (৪২০-১৬০) বা ২৬০ বেশি হয়, তাহলে ঐ সংখ্যাটি ৪২০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
নির্ণেয় সংখ্যা=১০০০+(৪২০-১৬০)=১০০০+২৬০=১২৬০।
১১. পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩০ ও ৩৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১০ হবে?
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভাজক ১৬, ২৪, ৩০, ৩৬ এর লসাগু নির্ণয় করিঃ
২)১৬,২৪,৩০,৩৬
২)৮,১২,১৫,১৮
২)৪,৬,১৫,৯
৩)২,৩,১৫,৯
২,১,৫,৩
∴নির্ণেয় লসাগু=২x২x২x৩x২x৫x৩=৭২০
আমরা জানি, পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তর সংখ্যা=৯৯৯৯৯
৭২০)৯৯৯৯৯(১৩৮
৭২০
২৭৯৯
২১৬০
৬৩৯৯
৫৭৬০
৬৩৯
উপরোক্ত ভাগ প্রক্রিয়ায় দেখা যায় যে, ৯৯৯৯৯ সংখ্যাটি ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য নয়। ৭২০ দিয়ে ভাগ করলে ৬৩৯ অবশিষ্ট থাকে। ভাজ্য ৯৯৯৯৯ থেকে ৬৩৯ কম হলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আবার, ভাজক (৭২০-৬৩৯)=৮১ বেশি হলেও ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য হবে।কিন্তু (৯৯৯৯৯+৮১)=১০০০৮০ সংখ্যাটি ৬ অঙ্ক বিশিষ্ট।
∴৭২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ৫ অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা=(৯৯৯৯৯-৬৩৯)=৯৯৩৬০।
কিন্তু প্রশ্নানুসারে, ভাগশেষ ১০ থাকতে হবে।
∴নির্ণেয় পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি=৯৯৩৬০+১০=৯৯৩৭০।
১২. কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ১০ কিমি, ২০ কিমি ও ৩২ কিমি পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূর পথ অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?
সমাধানঃ
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর লসাগু যত নির্ণেয় দুরত্ব তত কিমি।
২)১০,২০,২৪,৩২
২)৫,১০,১২,১৬
২)৫,৫,৬,৮
৫)৫,৫,৩,৪
১,১,৩,৪
∴লসাগু=২x২x২x৫x৩x৪=৪৮০।
∴নির্ণেয় দুরত্ব ৪৮০ কিমি।
১৩. দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গসাগু ১৩। সংখ্যা দুইটির লসাগু নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, সংখ্যা দুইওটির গুণফল ৩৩৮০ এবং গসাগু ১৩।
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল= সংখ্যাদ্বয়ের গসাগুxসংখ্যাদ্বয়ের লসাগু
বা, ৩৩৮০=১৩xলসাগু
বা, লসাগু=৩৩৮০÷১৩
বা, লসাগু=২৬০।